本报讯  近日，中国科大数学科学学院孙哲特任教授与美国耶鲁大学Alexander B. Goncharov教授在双曲曲面模空间体积研究中通过引入指数体积形式，证明一般带冠状端双曲曲面模空间指数体积有限并给出指数体积递归公式。相关成果于6月26日发表在《数学新进展》上。

菲尔兹奖得主Mirzakhani通过开创性的测地洞边界双曲曲面模空间体积递归公式，催生了拓扑递归与随机双曲曲面等数学分支的蓬勃发展。然而，当曲面结构延伸至更具一般性的非紧“冠状端”（crown end）时，经典的模空间体积会不可避免地发散为无穷大。如何在非紧曲面上建立合理的有限体积理论，成为该领域长期难以逾越的障碍。

对此，研究团队创造性地提出了“指数体积”新概念，通过引入典范势函数对体积形式进行修正，首次攻克了体积的有限性难题，证明了指数体积某种拉普拉斯变换（B函数）可以通过第二类修正贝塞尔函数的高阶导数线性组合进行精确计算。更进一步地，团队证明了指数体积满足Mirzakhani型的递归公式这一结构性质。该递归公式在几何结构上表现为对三角形/裤腿/裤子这些基本曲面的剪裁，其中“三角形/裤腿”是比传统Mirzakhani剪裁的裤子更小的几何基本元。基本曲面的指数体积引出了一个交换代数E，称之为PGL2正Hecke–Whittaker代数。所有曲面指数体积及其展开公式将代数E扩展到了所有曲面。此外，该工作还揭示了指数体积与Kontsevich模空间、指数动机变分周期之间深刻的内在联系。而指数体积势函数与镜像对称超势函数的神秘关联，以及指数体积与开弦理论的潜在联系，则进一步彰显了该成果的关键学术价值。

（数学科学学院 科研部）